Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：AE＝DF；

（2）如圖2，若AB＝2，過點M作MG⊥EF交線段BC于點G，判斷△GEF的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，若AB＝，過點M作MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．

①直接寫出線段AE長度的取值范圍；

②判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①＜AE≤；②△GEF是等邊三角形，見解析；

【解析】

（1）由條件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以證明△AEM≌△DFM，就可以得出結論．

（2）過點G作GH⊥AD于H，通過條件可以證明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，進而得出∠EGM=45°，再由（1）的結論可以得出∠EGF=90°，從而得出結論．

（3）①當點G、C重合時利用三角形相似就可以求出AE的值，從而求出AE的取值范圍．

②過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，證明△AEM∽△HMG，可以得出，從而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出結論．

解：（1）如圖1，

證明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD．

∵AM＝DM，

∴△AEM≌△DFM．

∴AE＝DF．

（2）答：△GEF是等腰直角三角形．

證明：過點G作GH⊥AD于H，如圖2，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四邊形ABGH是矩形．

∴GH＝AB＝2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME＝90°．

∴∠AME+∠GMH＝90°．

∵∠AME+∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH．

∴△AEM≌△HMG．

∴ME＝MG．

∴∠EGM＝45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，

∴ME＝MF．

∵MG⊥EF，

∴GE＝GF．

∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．

∴△GEF是等腰直角三角形．

（3）①當C、G重合時，如圖3

，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠AME+∠AEM＝90°．

∵MG⊥EF，

∴∠EMG＝90°．

∴∠AME+∠DMC＝90°，

∴∠AEM＝∠DMC，

∴△AEM∽△DMC

∴，

∴，

∴AE＝

∴＜AE≤．

②△GEF是等邊三角形．

證明：過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，如圖4，

∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，

∴四邊形ABGH是矩形．

∴GH＝AB＝2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME＝90°．

∴∠AME+∠GMH＝90°．

∵∠AME+∠AEM＝90°，

∴∠AEM＝∠GMH．

又∵∠A＝∠GHM＝90°，

∴△AEM∽△HMG．

∴．

在Rt△GME中，

∴tan∠MEG＝＝．

∴∠MEG＝60°．

　由（1）得△AEM≌△DFM．

∴ME＝MF．

∵MG⊥EF，

∴GE＝GF．

∴△GEF是等邊三角形．