Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．

（1）說(shuō)明：AE＝CE＝BE；

（2）若AB＝15cm，P是直線DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，PB+PC＝15cm．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形“三合一”的性質(zhì)證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根據(jù)等邊對(duì)等角、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)以及等量代換求得∠BCE＝∠B；最后根據(jù)等角對(duì)等邊證得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代換知PB+PC＝PB+PA；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P、B、A在同一直線上最小，所以點(diǎn)P在E處時(shí)最小．

（1）在等邊三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE（等邊對(duì)等角）；

∵∠ACB＝90°（已知），∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE（等角對(duì)等邊），∴AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；

∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，也就是PB+PA最小，即點(diǎn)P、B、A在同一直線上最小，所以點(diǎn)P在E處時(shí)最小．

當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．