Question

【題目】如圖1，在ABC中，，，點D是AB中點，

（1）點E為邊AC上一點，連接CD，DE，以DE為邊在DE的左側作等邊三角形DEF，連接BF.

（i）求證：△BCD為等邊三角形；

（ii）隨著點E位置的變化，的度數是否變化？若不變化，求出的度數；

（2）DPAB交AC于點P，點E為線段AP上一點，連結BE，作，如圖2所示，EQ交PD延長線于Q，探究線段PE，PQ與AP之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（i）見解析；（ii）∠DBF的度數不變，∠DBF=30°；（2） PQ=AP+ PE，證明見解析．

【解析】

（1）（i）由∠C=90°、∠A=30°，可得出AB=2BC、∠CBD=60°，根據直角三角形斜邊上的中線定理可得出BD=BC，即可得出△BCD為等邊三角形；
（ii）由（i）可得出∠ECD=30°，根據∠BDC=∠EDF=60°可得出∠BDF=∠CDE，再結合BD=CD、DF=DE即可得出△BDF≌△CDE（SAS），根據全等三角形的性質即可得出∠DBF=∠DCE=30°，即∠DBF的度數不變；

（2）連接BP，延長BP至F，使PF=PE，連接EF，證出△PEF為等邊三角形，得出PF=PE=EF，∠F=∠EPF=60°，得到∠F=∠BPQ=60°，證出∠Q=∠EBF，由AAS證明△BEF≌△QEP，得出PQ=FB=BP+PF=BP+PE，證出AP=BP，即可得出結論．

解：（1）（i）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠CBD=60°．
∵點D是AB中點，
∴BD=BC，
∴△BCD為等邊三角形；
（ii）∠DBF的度數不變，
∵∠ACB=90°，點D是AB中點，
∴CD=AB=AD，
∴∠ECD=30°．
∵△BDC為等邊三角形，
∴BD=DC，∠BDC=60°．
又∵△DEF為等邊三角形，
∴DF=DE，∠FDE=60°，
∴∠BDC +∠FDC=∠FDE+∠FDC，
∴∠BDF=∠CDE．
在△BDF和△CDE中，

，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠DBF=∠DCE=30°，
即∠DBF的度數不變，∠DBF=30°；

（2） PQ=AP+ PE，理由如下：

連接BP，延長BP至F，使PF=PE，連接EF，如圖所示：

∵在ABC中，，，點D是AB中點，DPAB，

∴AP=BP，∠ABP=∠A=30°，

∵∠FPE=∠A+∠ABP=30°+30°=60°，

∴△PEF為等邊三角形，

∴PF=PE=EF,∠F=60°，

∵∠APQ=90°∠A=60°，

∴∠F=∠QPE=60°，

∴∠BPQ=180°∠APQ∠FPE=60°，

∴∠BPQ=∠BEQ=60°，

∴∠Q=∠EBF，

在△BEF和△QEP中，

∴△BEF≌△QEP，

∴PQ=FB=BP+PF，

∵AP=BP，PE=PF，

∴PQ=AP+ PE．