Question

【題目】如圖，點D是△ABC內部的一點，BD=CD，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF．求證：AB=AC．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

欲證明AB=AC，只要證明∠ABC=∠ACB即可，根據“HL”證明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性質可證∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性質∠DBC=∠DCB，從而可證∠ABC=∠ACB.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°．

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠EBD=∠FCD，

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，

即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．