Question

【題目】【新知理解】

如圖①，若點、在直線l同側，在直線l上找一點，使的值最小.

作法:作點關于直線l的對稱點，連接交直線l于點，則點即為所求.

【解決問題】

如圖②，是邊長為6cm的等邊三角形的中線，點、分別在、上，則的最小值為 cm;

【拓展研究】

如圖③，在四邊形的對角線上找一點，使.(保留作圖痕跡，并對作圖方法進行說明)

Answer 1

【答案】（1）；（2）作圖見解析.

【解析】試題分析：（1）作點E關于AD的對稱點F，連接PF，則PE=PF，根據兩點之間線段最短以及垂線段最短，得出當CF⊥AB時，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根據勾股定理，求得CF的長即可得出PC+PE的最小值；
（2）根據軸對稱的性質進行作圖．

方法1：作B關于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，連接BP，則∠APB=∠APD．

方法2：作點D關于AC的對稱點D'，連接D'B并延長與AC的交于點P，連接DP，則∠APB=∠APD．

試題解析：（1）【解決問題】
如圖②，作點E關于AD的對稱點F，連接PF，則PE=PF，

當點F，P，C在一條直線上時，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
當CF⊥AB時，CF最短，此時BF=AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=（cm），
∴PC+PE的最小值為3cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如圖③，作B關于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，點P即為所求，連接BP，則∠APB=∠APD．

方法2：如圖④，作點D關于AC的對稱點D'，連接D'B并延長與AC的交于點P，點P即為所求，連接DP，則∠APB=∠APD．