Question

【題目】（1）問題發現

如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數量關系： ；

（2）操作探究

如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉，旋轉角為α（0°α360°），請判斷并證明線段BE與線段CD的數量關系；

（3）解決問題

將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉，旋轉角為α（0°α360°），若DE=2AC，在旋轉的過程中，當以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出旋轉角α的度數 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）45°，225°或315°

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得AB＝AC，AE＝AD，再根據等量關系可得線段BE與線段CD的關系；

（2）根據等腰直角三角形的性質可得AB＝AC，AE＝AD，根據旋轉的性質可得∠BAE＝∠CAD，根據SAS可證△BAE≌△CAD，根據全等三角形的性質即可求解；

（3）根據平行四邊形的性質可得∠ABC＝∠ADC＝45°，再根據等腰直角三角形的性質即可求解．

解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴AB＝AC，AE＝AD，

∴AEAB＝ADAC，

∴BE＝CD，

故答案為：BE＝CD；

（2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴AB＝AC，AE＝AD，

由旋轉的性質得，∠BAE＝∠CAD，

在△BAE與△CAD中，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE＝CD；

（3）如圖，

∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠ADC＝45°，

∵ED＝2AC，

∴AC＝CD，

∴①當C點旋轉于C1位置時∠CAD＝45°，

②當C點旋轉于C2位置時∠CAD＝360°90°45°＝225°，

③當C點旋轉于C3位置時∠CAD＝360°45°＝315°，

∴角α的度數是45°或225°或315°，

故答案為：45°或225°或315．