Question

【題目】已知為正整數(shù)．

（1）證明：不能表示為兩個(gè)以上連續(xù)整數(shù)的乘積；

（2）若能表示為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）利用反證法，假設(shè)能表示為兩個(gè)以上連續(xù)整數(shù)的乘積，則其能被3整除，分別將m=3k，3k+1，3k+2代入，求出余數(shù)即可證明；

（2）根據(jù)題意設(shè)，化簡(jiǎn)為關(guān)于m的一元二次方程，利用根的判別式得出n的可能取值，再根據(jù)m為正整數(shù)得到當(dāng)n=3時(shí)成立，從而解出m=2.

解：（1）假設(shè)能表示為兩個(gè)以上連續(xù)整數(shù)的乘積，則其能被3整除，

若，則，余數(shù)為2，

若，則，余數(shù)為1，

若，則，余數(shù)為2，

所以矛盾，假設(shè)不成立；

（2）∵，n為自然數(shù)，

展開(kāi)并化簡(jiǎn)得：，

令△＜0，解得：n＞3.5，即n≥4，此時(shí)m無(wú)解，

當(dāng)n=0時(shí)，△=4×72，

當(dāng)n=1時(shí)，△=4×82，

當(dāng)n=2時(shí)，△=4×74，

當(dāng)n=3時(shí)，△=4×36，只有此時(shí)可得m為整數(shù)，

解得：m=2或（舍），

∴m的最大值為2.