Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與拋物線y＝ax2+bx交于點A（6，0）和點B（1，﹣5）．

（1）求這條拋物線的表達式和直線AB的表達式；

（2）如果點C在直線AB上，且∠BOC的正切值是，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x，y＝x﹣6；（2）C（，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式；

（2）先說明OA=OH=6，則∠OAH=45°，作輔助線，根據正切值證明∠BOC=∠OBE，作OB的垂直平分線交AB于C，交OB于F，解法一：先根據中點坐標公式可得F（），易得直線OB的解析式為：y=﹣5x，根據兩直線垂直的關系可得直線FC的解析式為：y，列方程x﹣6，解出可得C的坐標；

解法二：過C作CD⊥x軸于D，連接OC，設C（m，m﹣6），根據OC=BC，列方程可得結論．

（1）把點A（6，0）和點B（1，﹣5）代入拋物線y=ax2+bx得：

，解得：，∴這條拋物線的表達式：y=x2﹣6x，設直線AB的解析式為：y=kx+b，把點A（6，0）和點B（1，﹣5）代入得：，解得：，則直線AB的解析式為：y=x﹣6；

（2）當x=0時，y=6，當y=0時，x=6，∴OA=OH=6．

∵∠AOH=90°，∴∠OAH=45°，過B作BG⊥x軸于G，則△ABG是等腰直角三角形，∴AB=5，過O作OE⊥AB于E，S△AOHAHOEOAOH，6OE=6×6，OE=3，∴BE=AB﹣AE=5，Rt△BOE中，tan∠OBE．

∵∠BOC的正切值是，∴∠BOC=∠OBE，∴OC=CB．作OB的垂直平分線交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（），易得直線OB的解析式為：y=﹣5x，設直線FC的解析式為：yx+b，把F（）代入得：b，b，∴直線FC的解析式為：yx﹣6，x，當x時，y，∴C（）；

解法二：過C作CD⊥x軸于D，連接OC，設C（m，m﹣6），則AC（6﹣m）．

∵OC=BC，∴m2+（m﹣6）2=[5（6﹣m）]，m，∴C（）．