Question

【題目】（1）觀察猜想，如圖①點B、A、C在同一條直線上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，則BC、BD、CE之間的數量關系為　 　；

（2）問題解決，如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC為直角邊向外作等腰Rt△DAC，連結BD，求BD的長；

（3）拓展延伸，如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，請直接寫出BD的長．

Answer 1

【答案】（1）BC＝BD+CE；（2）3；（3）．

【解析】

（1）觀察猜想：證明，可得結論：；

（2）問題解決：作輔助線，同理證明：，可得，，最后利用勾股定理求的長；

（3）拓展延伸：同理證明三角形全等，設，，根據全等三角形對應邊相等列方程組可得結論．

解：（1）觀察猜想

結論：BC＝BD+CE，理由是：

如圖①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，

∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，

∴∠D＝∠EAC，

∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，

∴△ADB≌△EAC（AAS），

∴BD＝AC，EC＝AB，

∴BC＝AB+AC＝BD+CE；

故答案為：BC＝BD+CE；

（2）問題解決

如圖②，過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，

∴DE＝AB＝3，AE＝BC＝6，

Rt△BDE中，BE＝9，

由勾股定理得：；

（3）拓展延伸

如圖③，過D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，

同理得：△CED≌△AFD，

∴CE＝AF，ED＝DF，

設AF＝x，DF＝y，

則，解得：，

，，

由勾股定理得：．