Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與邊，分別交于，兩點，過點作于點．

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；

（2）求證：為的中點；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）與相切，理由見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）連結、，如圖1，先利用AB是圓的直徑得到，再根據等腰三角形的性質得，然后利用三角形中位線定理可得，而，進一步即可證得結論；

（2）連結，如圖2，根據圓內接四邊形的性質和等腰三角形的性質可得，從而DE=DC，然后根據等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；

（3）易得，利用余弦的定義，分別在和中計算出AC與CH的長，則CE即可求出，然后計算即可得到的長．

解：（1）與相切．理由如下：

連結、，如圖1，∵為直徑，∴，即，

∵，∴，

而，∴為的中位線，∴，

∵，∴，∴為的切線；

（2）證明：連結，如圖2，

∵四邊形為的內接四邊形，∴，

∵，∴，∴，∴DE=DC.

∵，∴，即為的中點；

（3）解：如圖2，在中，∵，，∴.

在中，∵，∴，∴，

∴．