Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點D、點E，連接CD，且CD=CA，BD=6

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，tan∠ADC=2．
（1）求證：CD是半圓O的切線；
（2）求半圓O的直徑；
（3）求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由于OB=OD，那么∠1=∠2，又CA=CD，于是∠ADC=∠A，根據∠ACB=90°，易知∠A+∠1=90°，等量代換則有∠ADC+∠2=90°，再根據平角定義，那么可知∠CDO=90°，根據切線的判定可知CD是⊙O切線；
（2）連接DE，由于BE是直徑，那么易知∠1+∠3=90°，而∠1+∠A=90°，∠A=∠ADC，易得∠3=∠ADC，于是tan∠3=tan∠ADC=2，在Rt△BDE中，BD=6

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，那么可求DE=3

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，再利用勾股定理可求AB；
（3）作CF⊥AD于點F，由于CD=CA，利用等腰三角形三線合一定理可知AD=2AF=2DF，設DF=x，在Rt△CDF中，結合tan∠ADC=2，可求CF=2x，同理可求BF=4x，于是BD=3x，進而可求x，從而易求
AD．

解答：（1）證明：如圖，連接OD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A，
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠1=90°，
∴∠ADC+∠2=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD為半圓O的半徑，
∴CD為半圓O的切線；

（2）解：如圖，連接DE，
∵BE為半圓O的直徑，
∴∠EDB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ADC=∠3，
∴tan∠3=

BD

ED

=2，
∴ED=3

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，
∴EB=

BD2+DE2

=15；

（3）解：作CF⊥AD于點F，
∵CD=CA，
∴AD=2AF=2DF，
設DF=x，
∵tan∠ADC=2，
∴CF=2x，
∵∠1+∠FCB=90°，
∴∠FCB=∠ADC，
∴tan∠FCB=2，
∴FB=4x，
∴BD=3x=6

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，
解得x=2

5

，
∴AD=2DF=2x=4

5

．

點評：本題考查了切線的判定、勾股定理、正切的計算、等腰三角形三線合一定理，解題的關鍵是連接OD、DE，作CF⊥AD，這樣可構造直角三角形，便于計算．