Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45．

(1)試判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

(2)若⊙O的半徑為3，sin∠ADE=，求AE的值．

Answer 1

【答案】（1）CD與圓O相切，證明見解析；（2）AE=5 ．

【解析】（1）連接OD，則∠AOD=為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥CD，從而得出∠CDO=90°，即可證出答案.

（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE，根據題意得sin∠ABE=. 由AB是圓O的直徑求出AB的長.再在Rt△ABE中，求得AE即可.

解：（1）CD與圓O相切． 證明：連接OD，則∠AOD=2∠AED =2×450=900．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//DC．∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD． ∴CD與圓O相切

（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE． ∴sin∠ADE=sin∠ABE=．

∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=900，AB=2×3=6．

在Rt△ABE中，sin∠ABE=．∴AE=5 ．

“點睛”此題考查了切線的判定、圓周角定理、垂線定理、平行四邊形的性質以及三角函數等知識.此題綜合性較強，難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與轉化思想的應用.