Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

（3）設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；y=-x2-2x+3；（2）M的坐標為（-1，2）；（3）P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）．

【解析】

（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B．C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；

（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；

（3）設P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．

解：（1）依題意得：，

解之得：，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3

∵對稱軸為x=-1，且拋物線經過A（1，0），

∴把B（-3，0）．C（0，3）分別代入直線y=mx+n，

得，

解之得：，

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，

∴M（-1，2），

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）；

（3）設P（-1，t），

又∵B（-3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1=，t2=；

綜上所述P的坐標為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）．