Question

【題目】已知：拋物線C1：y=x2﹣2a x+2a+2 頂點P在另一個函數圖象C2上
（1）求證：拋物線C1必過定點A（1，3）；并用含的a式子表示頂點P的坐標；
（2）當拋物線C1的頂點P達到最高位置時，求拋物線C1解析式；并判斷是否存在實數m、n，當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，說明理由；
（3）拋物線C1和圖象C2分別與y軸交于B、C點，當△ABC為等腰三角形，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當x=1時，y=1﹣2a+2a+2=3，

∴拋物線C1必過定點A（1，3），

∵拋物線C1：y=x2﹣2ax+2a+2=（x﹣a）2﹣a 2+2a+2，

∴頂點P（a，﹣a 2+2a+2）

（2）解：∵yP=﹣a 2+2a+2=﹣（a﹣1）2+3≤3

∴當a=1時，P達到最高位置（1，3）

此時拋物線C1解析式為y=x2﹣2x+4，

∴y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，

∵當m≤x≤n時恰有3m≤y≤3n，

∴3≤3m≤y≤3n，

∴1≤m≤n，

∴當1≤m≤x≤n，y隨x的增大而增大，

∴當x=m時，y=3m，當x=n時，y=3n，

則 ，

解得： ，

∵1≤m≤n，

∴m=1、n=4；

（3）解：∵拋物線C1：y=x2﹣2ax+2a+2與y軸交于B點

∴B（0，2a+2）

∵函數yP=﹣x 2+2x+2圖象C2與y軸交于C點

∴C（0，2）

∵A（1，3）

∴由勾股定理得AC= ，BC=|2a|，AB2=（2a﹣1）2+1

∵△ABC為等腰三角形，

∴①AC=BC ②BC2=AB2 ③AC2=AB2

∴ =|2a|或4a2=（2a﹣1）2+1或2=（2a﹣1）2+1，

∴ 或 或a=1或a=0（B與C重合，舍去），

即a=± 或a= 或a=1

【解析】（1）因為當x=1時，拋物線的值是3，所以拋物線C1必過定點A（1，3），用配方法寫出拋物線的頂點式即可；（2）根據拋物線的頂點式得出P點達到最高位置的坐標，求出拋物線C1的解析式，通過分析討論求出m、n的值；（3）由拋物線C1與y軸交于B點，得到B點坐標的表達式，由拋物線C2與y軸交于C點，得到C點坐標，根據勾股定理求出AC、BC、AB2的值，根據等腰三角形的性質，△ABC為等腰三角形求出a的值，此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.