Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．M、N分別是AB、CD邊的中點，P是AD上的點，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求證：∠PNM=2∠CBN；

（2）求線段AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AP= .

【解析】試題分析：（1）因為MN∥BC，可得∠CBN=∠MNB，由∠PNB=3∠CBN，根據角的和差不難得出結論；

（2）連接AN，由矩形的軸對稱性，可得∠PAN=∠CBN，由（1）可知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可得∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根據等角對等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；

（2）連接AN，根據矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點，∴DN=2，設AP=x，則PD=6﹣x，在Rt△PDN中， ，∴，解得：x=，所以AP=．