Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b）和點Q（a，b'），給出如下定義：

若b'=，則稱點Q為點P的限變點．例如：點（3，﹣2）的限變點的坐標是（3，﹣2），點（﹣1，5）的限變點的坐標是（﹣1，﹣5）．

（1）①點（﹣，1）的限變點的坐標是　 　；

②在點A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一個點是函數y=圖象上某一個點的限交點，這個點是　 　；

（2）若點P在函數y=﹣x+3的圖象上，當﹣2≤x≤6時，求其限變點Q的縱坐標b'的取值范圍；

（3）若點P在關于x的二次函數y=x2﹣2tx+t2+t的圖象上，其限變點Q的縱坐標b'的取值范圍是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s=m﹣n，求s關于t的函數解析式及s的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（﹣，﹣1）；②A；（2）當﹣2≤x≤6時，﹣5≤b′≤2；（3）s關于t的函數解析式為s=t2+1（t≥1），s的取值范圍是s≥2．

【解析】

（1）①直接根據限變點的定義直接得出答案；

②點（-1，-2）在反比例函數圖象上，點（-1，-2）的限變點為（-1，2），據此得到答案；

（2）根據題意可知y=-x+3（x≥-2）圖象上的點P的限變點Q必在函數y=的圖象上，結合圖象即可得到答案；

（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t頂點坐標，結合t與1的關系確定y的最值，進而用m和n表示出s，根據t的取值范圍求出s的取值范圍．

（1）①根據限變點的定義可知點點（﹣，1）的限變點的坐標為（﹣，﹣1）；

②（﹣1，﹣2）限變點為（﹣1，2），即這個點是點A．

（2）依題意，y=﹣x+3（x≥﹣2）圖象上的點P的限變點Q必在函數y=的圖象上．

當x=﹣2時，y=﹣2﹣3=﹣5，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

當x=6時，y=﹣6+3=﹣3，

∴當﹣2≤x≤6時，﹣5≤b′≤2；

（3）∵y=x2﹣2tx+t2+t=（x﹣t）2+t，

∴頂點坐標為（t，t）．

若t＜1，b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，與題意不符．

若t≥1，當x≥1時，y的最小值為t，即m=t；

當x＜1時，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n=﹣[（1﹣t）2+t]．

∴s=m﹣n=t+（1﹣t）2+t=t2+1．

∴s關于t的函數解析式為s=t2+1（t≥1），

當t=1時，s取最小值2，

∴s的取值范圍是s≥2．