Question

【題目】如圖，在中，，，，點為內一動點．過點作于點，交于點．若為等腰三角形，且，則的長為__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分以下三種情況：①若BP=CP，過點P作PF⊥BC于點F，有DP=CF=BC；②若BP=BC，過點P作PF⊥BC于點F，則在Rt△BPF中先求出BF的長，從而根據DP=CF可得出DP的長；③若BC=CP，由勾股定理以及相似三角形的判定與性質分別求出DP，DE的長，此時DP＞DE，此種情況不存在．綜上可得出結果．

解：∵∠ACB=90°，PD⊥AC，

∴DE∥BC．

∴，

又BC=5，∴CD=3．

分以下三種情況：

①若BP=CP，如圖1，過點P作PF⊥BC于F，

則四邊形CDPF為矩形，

∴DP=CF，

又CP=BP，PF⊥BC，

∴CF=BF=BC=，

∴DP=CF=；

②若BP=BC=5，如圖2，過點P作PF⊥BC于F，

則四邊形CDPF為矩形，

∴PF=CD=3，

在Rt△BPF中，由勾股定理可得BF=4，

∴CF=BC-BF=1，

∴DP=1；

③若BC=CP=5，如圖3，

則在Rt△CDP中，根據勾股定理得，DP=4，

又DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，∴DE=，

此時DP＞DE，不符合題意．

綜上所述，PD的長為1或．

故答案為：1或．