Question

【題目】如圖，AB，AD是⊙O的弦，AO平分.過點B作⊙O的切線交AO的延長線于點C，連接CD，BO.延長BO交⊙O于點E，交AD于點F，連接AE，DE.

(1)求證：是⊙O的切線；

(2)若，求的長.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)

【解析】

（1）欲證明CD是⊙O的切線，只要證明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解決問題．

（2）先證明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，在Rt△AEF中利用30度性質以及勾股定理即可解決問題．

解：（1）如圖，連接OD．

∵BC為圓O的切線，

∴∠CBO＝90°．

∵AO平分∠BAD，

∴∠OAB＝∠OAF．

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，

∵∠BOC＝∠OAB＋∠OBA，∠DOC＝∠OAD＋∠ODA，

∴∠BOC＝∠DOC，

在△COB和△COD中，

，

∴BOC≌△DOC，

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵AE＝DE，

∴，

∴∠DAE＝∠ABO，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠ABO

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE，

∵BE是直徑，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，

∴∠AFE＝90°，

在Rt△AFE中，∵AE＝3，∠DAE＝30°，

∴EF＝AE＝，

∴AF＝．