Question

【題目】如圖，在ΔABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N.

(1)求△AEN的周長；

(2)判斷ΔAEN的形狀并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）△AEN周長為12；（2）△AEN為等邊三角形．

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質，結合已知條件可得AE與BE，AN與NC之間的關系，至此不難得到△AEN的周長；

（2）根據已知條件AB=AC，∠BAC=120°，先求出∠ABC和∠ACB的度數；由AE=BE，AN=CN，可求出∠BAE=∠CAN=30°，利用三角形外角定理，即可判斷出△AEN的形狀.

（1）∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，

∴AE=BE，AN=CN，

∵BC=12，

∴△AEN周長=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12；

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵AE=BE，AN=CN，

∴∠BAE=∠CAN=30°，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=60°；

∵∠AEN=∠B+∠BAE=60°，∠ANE=∠C+∠CAN=60°，

∴△AEN為等邊三角形．