Question

【題目】已知△ABC是邊長為6的等邊三角形．將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ（0°θ180°）得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

（1）如圖1，當0°θ60°時，∠BOC的度數是否變化？若不變，求出∠BOC的度數；若變化，直接寫出∠BOC的度數的變化范圍；

（2）在旋轉過程中，當△BDE是直角三角形時，求BD的長；

（3）在θ從60°到120°的旋轉過程中，直接寫出點O運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）不變， （2） ；（3）

【解析】

（1）先證明△ABD≌△ACE，然后根據角的代換可得出∠BOC=120°；

（2）先推出∠BDA=30°，根據AB=AD=6，得出∠ABD=30°，作AM⊥BD于M，在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°，即可得出答；

（3）如圖，AD交AE于J．設△ABC的外接圓的圓心為K．證明∠AOC＝120°，推出點O的運動軌跡是K為圓心，KC半徑的圓弧，圓心角為60°，即可得出答案．

解：（1）∵AD=AE，AB=AC，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠AEC=∠ADB，

∵∠ADO+∠ADB=180°，

∴∠ADO+∠AEC=180°，

∴∠DAE+∠BOC=180°，

∵∠DAE=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BOC的度數不變，∠BOC=120°；

（2）∵△BDE是直角三角形，

∴∠BDE=90°，

∵∠BDA+∠ADE=90°，∠ADE=60°，

∴∠BDA=30°，

∵AB=AD=6，

∴∠ABD=30°，

作AM⊥BD于M，

在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°，

∴BM=，

∴BD=6；

（3）如圖中，AD交AE于J．設△ABC的外接圓的圓心為K，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ODJ＝∠AEJ，

∵∠AJE＝∠OJD，

∴∠EAJ＝∠JOD＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴點O的運動軌跡是K為圓心，KC半徑的圓弧，圓心角為60°，

∴當θ從60°到120°的旋轉過程中，KC=·=，

=．