Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上兩點，經過點A，C，B的拋物線的一部分C1與經過點A，D，B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0， ），點M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的頂點：

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求經過點A，C，B的拋物線C1的函數表達式．

（3）探究“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）；（3）當P點坐標為（， ）時， 有最大值， .

【解析】試題分析：（1）把拋物線解析整理，令y=0可求得x的值，則可求得A、B的坐標；

（2）由A、B、C的坐標，利用待定系數法可求得經過點A、B、C的拋物線解析式；

（3）連接BC、過點P作PQ∥y軸，交BC于點Q，由B、C的坐標可求得直線BC的解析式，則可設出P點坐標，從而表示出Q點坐標，則可求得PQ的長，從而用P點坐標表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得P點坐標和△PBC面積的最大值．

試題解析：解：（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，

∴當y=0時，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）設過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

則有，解得，

∴拋物線C1解析式為；

（3）如圖，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，

設直線BC解析式為y=kx+s，則有，解得，

∴ 直線BC的解析式為，

設P（x， ），則Q（x， ），

∴ PQ= ，

∴ S△PBC=PQOB=×（x2+x）×3=（x）2+，

∵＜0，

∴ 當x=時，S△PBC有最大值，S最大=，此時P點縱坐標為，

∴ 此時P點坐標為（， ）．