Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD為正方形,已知點A(-6,0),D(-7,3)，點B、C在第二象限內．

(1)點B的坐標 ；

(2)將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向右平移t秒,若存在某一時刻t,使在第一象限內點B、D兩點的對應點B′、D′正好落在某反比例函數的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數的解析式；

(3)在(2)的情況下,問是否存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q,使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出符合題意的點P、Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）t=9，；（3）點P、Q的坐標為：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．

【解析】

（1）過點D作DE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，由正方形的性質結合同角的余角相等即可證出△ADE≌△BAF，從而得出DE=AF，AE=BF，再結合點A、D的坐標即可求出點B的坐標；

（2）設反比例函數為，根據平行的性質找出點B′、D′的坐標，再結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于k、t的二元一次方程組，解方程組解得出結論；

（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，）．分B′D′為對角線或為邊考慮，根據平行四邊形的性質找出關于m、n的方程組，解方程組即可得出結論．

解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖1所示．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ADE=∠BAF．

在△ADE和△BAF中，有

，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴DE=AF，AE=BF．

∵點A（-6，0），D（-7，3），

∴DE=3，AE=1，

∴點B的坐標為（-6+3，0+1），即（-3，1）．

故答案為：（-3，1）．

（2）設反比例函數為，

由題意得：點B′坐標為（-3+t，1），點D′坐標為（-7+t，3），

∵點B′和D′在該比例函數圖象上，

∴，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函數解析式為．

（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，）．

以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

①B′D′為對角線時，

∵四邊形B′PD′Q為平行四邊形，

∴，解得：，

∴P（，0），Q（，4）；

②當B′D′為邊時．

∵四邊形PQB′D′為平行四邊形，

∴，解得：，

∴P（7，0），Q（3，2）；

∵四邊形B′QPD′為平行四邊形，

∴，解得：．

綜上可知：存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，符合題意的點P、Q的坐標為：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．