Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EF，連結BF，BF的中點為G．

（1）當點E與點C重合時．

①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．

②當點D從點A運動到點B時，求點G的運動路徑長．

（2）當AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②

（2）或或或

【解析】

（1）①利用等腰直角三角形的性質，易證AC＝BC，∠A＝45°，利用解直角三角形求出AC，BC的長，利用旋轉的性質，可證得△DCF是等腰直角三角形，從而可求出DF的長，再證明DF∥BC，可得到四邊形DFCB是平行四邊形，利用平行四邊形的對角線的性質，可證得BF＝2GF，DC＝2CG，繼而可求出CG的長，然后利用勾股定理求出GF的長，從而可求出BF的長；②如圖，連接AF，取AB的中點T，連接GT，利用等腰直角三角形的性質，可證得CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，利用SAS證明△ACF≌△BCD，利用全等三角形的性質可得到∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，從而可證AF⊥AB，即可得到TG∥AF，就可推出TG⊥AB，由此可得點G的運動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，即可求出點G的運動路徑長．

（2）分情況討論：當點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于點J，設AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，易證△DEJ∽△EBC，利用相似三角形的對應邊成比例建立關于x的方程，解方程求出x的值，可得到AJ，DJ的長，在等腰直角△ADJ中，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DF上時，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于點T，過點G作GK⊥AC于點K，過點D作DJ⊥AC于點J，設FT＝AT＝y，用含y的代數式表示出KG，EK的長，再證明△FET∽△EGK，利用相似三角形的對應邊成比例，建立關于y的方程，解方程求出y的值，就可得到TF，TE的長，然后求出DJ的長，利用解直角三角形求出AD的長；當點G在直線DF上時，點D與點B重合，求出AD的長即可．

（1）解：如圖，

①當點E與點C重合時．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠A＝45°，

∴AC＝BC＝ABsin∠A＝sin45°＝；

∵將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90°得到EF，

∴∠DCE＝90°，DE＝CF

∴△DCF是等腰直角三角形，

∵AD＝CD＝CF＝BD＝，∠DFC＝∠CDF＝45°

∴

∴BC＝DF，

∴∠A＝∠＝45°，

∴∠ADC＝180°－45°－45°＝90°，

∴∠ADF＝90°－45°＝45°＝∠ABC

∴DF∥BC

∴四邊形DFCB是平行四邊形，

∴BF＝2GF，DC＝2CG

∴CG＝

在Rt△EFG中

∴BF＝；

②如圖，連接AF，取AB的中點T，連接GT

∵△ACB和△CDF是等腰直角三角形，

CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ACF＝∠BCD，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，

∴∠BAF＝∠CAF＋∠CAB＝90°，

∴AF⊥AB，

∵AT＝TB，BG＝GF，

∴TG∥AF，

∴TG⊥AB，

∴點G的運動軌跡是Rt△ABC斜邊的中線，運動的路徑的長為；

（2）解：如圖，當點G在直線EF上時，過點D作DJ⊥AC于點J，

設AJ＝DJ＝x，則EJ＝3－x，

∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，

∴∠DEJ＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠CBE＝90°，

∴∠DEJ＝∠CEB

∴△DEJ∽△EBC

∴

∴

解之：

∴

∴；

當點G在直線DF上時，

由題意得：

當點G在直線DE上時，過點F作FT⊥CA交CA的延長線于點T，過點G作GK⊥AC于點K，過點D作DJ⊥AC于點J，

設FT＝AT＝y，

∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，

∴TK＝KC，

∴

∴

∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，

易證∠FET＝∠EGK

∴△FET∽△EGK

∴

∴

整理得：2y2＋9y－6＝0

解之：（取正值），

∴

易證△FET≌△EDJ，

∴

當點G在直線DF上時，點D與點B重合，此時

∴AD的長為或或或．

【點晴】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題，