Question

【題目】閱讀下列材料：

1637 年笛卡兒(R．Descartes，1596 1650)在其《幾何學》中，首次應用待定系數法將 4 次方程分解為兩個 2 次方程求解，并最早給出因式分解定理．

他認為，若一個高于二次的關于 x 的多項式能被 () 整除，則其一定可以分解為 () 與另外一個整式的乘積，而且令這個多項式的值為 0 時， x = a 是關于 x 的這個方程的一個根．

例如：多項式 可以分解為 () 與另外一個整式 M 的乘積，即

令時，可知 x =1 為該方程的一個根．

關于笛卡爾的“待定系數法”原理，舉例說明如下： 分解因式：

觀察知，顯然 x=1 時，原式 = 0 ，因此原式可分解為 () 與另一個整式的積．

令：，則=，因等式兩邊 x 同次冪的系數相等，則有：，得，從而

此時，不難發現 x= 1 是方程 的一個根．

根據以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答以下問題：

（1）若 是多項式 的因式，求 a 的值并將多項式分解因式；

（2）若多項式 含有因式及 ，求a+ b 的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a+ b=

【解析】

（1）已知多項式的因式，將多項式分解為該因式與另外一個整式乘積的形式，將這個新構造的式子中的系數與原式中的系數進行對照，列方程即可得到答案

（2）已知多項式中含有因式，根據材料中的內容可知因式的解為零，所以解得未知數的值，再利用未知數的值帶入原式即可求解到參數的值，將結果相加即可求得答案

（1）令：，

因等式兩邊 x 同次冪的系數相等，則有：，

解得：，

從而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；

（2）設（其中M為二次整式），

由材料可知：x+1=0或x-2=0；

所以：x=-1，x=2是方程的解，

所以，

解得a=8，b=-39，

∴a＋b=8+(-39) =-31．