Question

（14分）如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，4），拋物線經過點A和C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）該拋物線的對稱軸將平行四邊形ABCO分成兩部分，對稱軸左側部分的圖形面積記為，右側部分圖形的面積記為，求與的比．

（3）在y軸上取一點D，坐標是（0，），將直線OC沿x軸平移到，點D關于直線的對稱點記為，當點正好在拋物線上時，求出此時點坐標并直接寫出直線的函數解析式．

Answer 1

（1） ；（2） S1：S2=23：9；（3） 點D’坐標為（-1，4）或（，）；或．

【解析】

試題分析：（1） A（-2,0），C（2，4），將其代入拋物線 ，求得解析式；

（2）通過證明CEF∽AOB，得到EF=3，應用三角形面積公式求得與的面積，進而求得與的比；

（3）由ABO∽DMO，求得OM=7，用待定系數法求得直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立方程組求解，得到點的坐標，得到直線的解析式．

試題解析：【解析】
（1）∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴BC∥AO，且BC=AO，

由題意知，A（-2,0），C（2，4），將其代入拋物線中，有

，解得，

∴拋物線解析式為；

由（1）知，拋物線對稱軸為直線，

設它交BC于點E，交OC于點F，則BE=，CE=．

又∵∠A=∠C，∴CEF∽AOB，∴，∴EF=3，

∴，

又∵S□ABCD=2×4=8，∴，∴S1：S2=23：9．

如圖，設過DD’的直線交x軸于點M，交OC于點P，

∵DM⊥OC，∴∠DOP=∠DMO，

∵AB∥OC，∴∠DOC=∠ABO，∴ABO∽DMO，∴，∴OM=7，

設直線DM的解析式為，將點D（0，），M（7,0）代入，得

，解得，

∴直線DM的解析式為，

由題意得，解得，，

∴點D’坐標為（-1，4）或（，）．

直線O’C’的解析式為：

（如圖1）或（如圖2）．

考點：待定系數法求函數解析式；求圖象的交點坐標；相似三角形的判定和性質．