Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點．

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為2，∠B＝50°，AC＝5，求圖中陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；（2）陰影部分的周長＝5+．

【解析】

（1）連接OD，OE，AD，證明△OAE≌△ODE，可得∠ODE=∠OAE=90°，即OD⊥ED，所以直線DE與⊙O相切；
（2）根據陰影部分的周長= AE+DE +弧AD，再根據弧長的計算公式即可得出圖中陰影部分的周長．

解：（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：

連接OE、OD，如圖，

∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，∴∠OAC＝90°，

∵點E是AC的中點，O點為AB的中點，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，

在△AOE和△DOE中：

，

∴△AOE≌△DOE（SAS）

∴∠ODE＝∠OAE＝90°，

∴DE⊥OD，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵DE、AE是⊙O的切線，

∴DE＝AE，

∵點E是AC的中點，

∴DE＝AE＝AC＝2.5，

又∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，

∴陰影部分的周長＝2.5+2.5+＝5+．