Question

【題目】（1）如圖1，A是⊙O上一動點，P是⊙O外一點，在圖中作出PA最小時的點A．

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以點C為圓心的⊙C的半徑是3.6，Q是⊙C上一動點，在線段AB上確定點P的位置，使PQ的長最小，并求出其最小值．

（3）如圖3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D為圓心，3為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，試探究四邊形ADCF的面積是否有最大或最小值，如果有，請求出最大或最小值，否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）PQ長最短是1.2；（3）四邊形ADCF面積最大值是，最小值是．

【解析】

（1）連接線段OP交⊙C于A，點A即為所求；

（2）過C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，這時PQ最短，根據勾股定理以及三角形的面積公式即可求出其最小值；

（3）△ACF的面積有最大和最小值，取AB的中點G，連接FG，DE，證明△FAG～△EAD，進而證明點F在以G為圓心1為半徑的圓上運動，過G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延長線交⊙G于F2，①當F在F1時，△ACF面積最小，分別求出△ACD的面積和△ACF的面積的最小值即可得出四邊形ADCF的面積的最小值；②當F在F2時，四邊形ADCF的面積有最大值，在⊙G上任取異于點F2的點P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定與性質以及三角形的面積公式即可得出得出四邊形ADCF的面積的最大值．

解：（1）連接線段OP交⊙C于A，點A即為所求，如圖1所示；

（2）過C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，這時PQ最短．

理由：分別在線段AB，⊙C上任取點P'，點Q'，連接P'，Q'，CQ'，如圖2，

由于CP⊥AB，根據垂線段最短，CP≤CQ'+P'Q'，

∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，

又∵CQ＝CQ'，

∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．

在Rt△ABC中，，

∴，

∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，

∴．

當P在點B左側3.6米處時，PQ長最短是1.2．

（3）△ACF的面積有最大和最小值．

如圖3，取AB的中點G，連接FG，DE．

∵∠EAF＝90°，，

∴

∵AB＝6，AG＝GB，

∴AC＝GB＝3，

又∵AD＝9，

∴，

∴

∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△FAG～△EAD，

∴，

∵DE＝3，

∴FG＝1，

∴點F在以G為圓心1為半徑的圓上運動，

連接AC，則△ACD的面積＝，

過G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延長線交⊙G于F2，

①當F在F1時，△ACF面積最小．理由：由（2）知，當F在F1時，F1H最短，這時△ACF的邊AC上的高最小，所以△ACF面積有最小值，

在Rt△ABC中，

∴，

在Rt△ACH中，，

∴，

∴△ACF面積有最小值是：；

∴四邊形ADCF面積最小值是：；

②當F在F2時，F2H最大理由：在⊙G上任取異于點F2的點P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，連接PG，則四邊形GHMN是矩形，

∴GH＝MN，

在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，

∴PG＞PN，

又∵F2G＝PG，

∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，

∴F2H是△ACF的邊AC上的最大高，

∴面積有最大值，

∵，

∴△ACF面積有最大值是；

∴四邊形ADCF面積最大值是；

綜上所述，四邊形ADCF面積最大值是，最小值是．