Question

【題目】如圖，拋物線經過B（﹣1，0），D（﹣2，5）兩點，與x軸另一交點為A，點H是線段AB上一動點，過點H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點Q，P．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使∠APB=90°，若存在，求出點P的橫坐標，若不存在，說明理由；

（3）連接BQ，一動點M從點B出發，沿線段BQ以每秒1個單位的速度運動到Q，再沿線段QD以每秒個單位的速度運動到D后停止，當點Q的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時t最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）Q（﹣1，4）．

【解析】試題分析：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得出關于b、c的二元一次方程組，即可求出拋物線的解析式；

（2）根據拋物線解析式求出OA，設P（m，m2﹣2m﹣3），則﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，證明△AHP∽△PHB，得出PH2=BHAH，由此得出方程[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解方程即可；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線BQ+QD，運動時間：t=BQ+DQ，如備用圖，作輔助線，將BQ+DQ轉化為BQ+QG；再由垂線段最短，得到垂線段BH與直線AD的交點即為所求的Q點．

試題解析：解：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ；

（2）存在點P，使∠APB=90°．當y=0時，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．

設P（m，m2﹣2m﹣3），則﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，∴ ，∴PH2=BHAH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1=，m2=，∴點P的橫坐標為： 或；

（3）如圖，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴tan∠DAB==1，∴∠DAB=45°．過點D作DK∥x軸，則∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG．

由題意，動點M運動的路徑為折線BQ+QD，運動時間：t=BQ+DQ，∴t=BQ+QG，即運動的時間值等于折線BQ+QG的長度值．

由垂線段最短可知，折線BQ+QG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點B作BH⊥DK于點H，則t最小=BH，BH與直線AD的交點，即為所求之Q點．

∵A（3，0），D（﹣2，5），∴直線AD的解析式為：y=﹣x+3，∵B點橫坐標為﹣1，∴y=1+3=4，∴Q（﹣1，4）．