Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（0，a），B（b，a），且a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，現同時將點A，B分別向下平移3個單位，再向左平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD；

（2）在y軸上是否存在一點M，連接MC，MD，使S△MCD＝S四邊形ABCD？若存在這樣一點，求出點M的坐標，若不存在，試說明理由；

（3）點P是直線BD上的一個動點，連接PA，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合），直接寫出∠BAP，∠DOP，∠APO之間滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）M（0，2）或（0，﹣2）；（3）①當點P在線段BD上移動時，∠APO＝∠DOP+∠BAP；②當點P在DB的延長線上時，∠DOP＝∠BAP+∠APO；③當點P在BD的延長線上時，∠BAP＝∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）根據非負數的性質分別求出a、b，根據平移規律得到點C，D的坐標，根據坐標與圖形的性質求出S四邊形ABCD；

（2）設M坐標為（0，m），根據三角形的面積公式列出方程，解方程求出m，得到點M的坐標；

（3）分點P在線段BD上、點P在DB的延長線上、點P在BD的延長線上三種情況，根據平行線的性質解答．

解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，

，解得，a＝3，b＝6．

∴A（0，3），B（6，3），

∵將點A，B分別向下平移3個單位，再向左平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C（﹣2，0），D（4，0），

∴S四邊形ABDC＝AB×OA＝6×3＝18；

（2）在y軸上存在一點M，使S△MCD＝S四邊形ABCD，

設M坐標為（0，m）．

∵S△MCD＝S四邊形ABDC，

∴×6|m|＝×18，

解得m＝±2，

∴M（0，2）或（0，﹣2）；

（3）①當點P在線段BD上移動時，∠APO＝∠DOP+∠BAP，

理由如下：如圖1，過點P作PE∥AB，

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO；

②當點P在DB的延長線上時，同①的方法得，

∠DOP＝∠BAP+∠APO；

③當點P在BD的延長線上時，同①的方法得，

∠BAP＝∠DOP+∠APO．