Question

【題目】如圖（1）已知矩形AOCD在平面直角坐標系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B點的坐標為（2，0），動點M以每秒2個單位長度的速度沿A→C→B運動（M點不與點A、點B重合），設運動時間為t秒．

（1）求經過B、C、D三點的拋物線解析式；

（2）點P在（1）中的拋物線上，當M為AC中點時，若△PAM≌△PDM，求點P的坐標；

（3）當點M在CB上運動時，如圖（2）過點M作ME⊥AD，MF⊥x軸，垂足分別為E、F，設矩形AEMF與△ABC重疊部分面積為S，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值；

（4）如圖（3）點P在（1）中的拋物線上，Q是CA延長線上的一點，且P、Q兩點均在第三象限內，Q、A是位于直線BP同側的不同兩點，若點P到x軸的距離為d，△QPB的面積為2d，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）點P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）；（3）S＝﹣（t﹣）2+，當t＝時，S最大＝；（4）P（﹣8，－10）

【解析】

（1）由直角三角形的性質可求點C，點D坐標，由待定系數法可求解析式；

（2）由全等三角形的性質可得DM=AM，PD=AP，可得點P在AD的垂直平分線上，可求點P的縱坐標，代入可求解；

（3）由題意可證△ACB是等邊三角形，可得CM=2t-4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t，即可求重疊部分面積，由二次函數的性質可求解；

（4）由題意先求出直線AC，BP的解析式，即可求點P坐標．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，

∴OC＝2，

∴點C（0，2），點D（﹣2，2），

設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）

∴

解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+＝，

（2）∵M為AC中點，

∴MA＝MD，

∵△PAM≌△PDM，

∴PA＝PD，

∴點P在AD的垂直平分線上

∴點P縱坐標為，

∴

∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣

∴點P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）

（3）如圖2，

∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，

∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，

∴△ACB是等邊三角形，

由題意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．

∵四邊形AEMF是矩形，

∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，

∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，

∴△CMH是等邊三角形，

∴CM＝MH＝2t﹣4，

∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+

當t＝時，S最大＝，

（4）∵S△ABP＝×4×d＝2d，

又S△BPQ＝2d

∴S△ABP＝S△BPQ，

∴AQ∥BP

設直線AC解析式為y＝kx+b，

把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得

∴

∴直線AC解析式為：y＝x+2，

設直線BP 的解析式為y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得

0＝2+n，

∴b＝﹣2

∴直線BP解析式為：y＝x﹣2，

∴＝x﹣2，

∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，

∴P（﹣8，－10）．