Question

如圖，⊙O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）求∠B的度數．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）60°．

【解析】

試題分析：（1）連結OA、OB、OC、BD，根據切線的性質得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據菱形的性質得BA=BC，然后根據“SSS”可判斷△ABO≌△CBO，則∠BCO=∠BAO=90°，于是可根據切線的判定方法即可得到結論；

（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可．

試題解析：（1）連結AO、CO、DO

∵AB與⊙O切于A點，

∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，

在△ABO和△CBO中

，

∴△ABO≌△CBO（SSS），

∴∠BCO=∠BAO=90°，

∴OC⊥BC，

∴BC為⊙O的切線；

（2）【解析】
∵△ABO≌△CBO，

∴∠ABO=∠CBO，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BD平分∠ABC，DA=DC，

∴點O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，

而OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，

∴∠OBC=∠ODC，

∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

考點：1．切線的判定與性質；2．菱形的性質．