Question

【題目】如圖1，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點，根據中心對稱性可以得知OA＝OB．

（1）如圖2，直線y＝2x+1與雙曲線y＝交于A，B兩點，與坐標軸交點C，D兩點，試證明：AC＝BD；

（2）如圖3，直線y＝ax+b與雙曲線y＝交于A，B兩點，與坐標軸交點C，D兩點，試問：AC＝BD還成立嗎？

（3）如果直線y＝x+3與雙曲線y＝交于A，B兩點，與坐標軸交點C，D兩點，若DB+DC≤5，求出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）k≤2

【解析】

（1）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，連接EF，AF，BE．證明四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形即可解決問題．

（2）證明方法類似（1）．

（3）由題意CD＝3，推出BD≤2，求出BD＝2時，k的值即可判斷．

解：（1）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，連接EF，AF，BE．

∵AE∥y軸，

∴S△AOE＝S△AEF＝，

∵BF∥x軸，

∴S△BEF＝S△OBF＝，

∴S△AEF＝S△BEF，

∴AB∥EF，

∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，

∴AC＝EF，BD＝EF，

∴AC＝BD．

（2）如圖1中，如圖1中，作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，連接EF，AF，BE．

∵AE∥y軸，

∴S△AOE＝S△AEF＝，

∵BF∥x軸，

∴S△BEF＝S△OBF＝，

∴S△AEF＝S△BEF，

∴AB∥EF，

∴四邊形ACFE，四邊形BDEF都是平行四邊形，

∴AC＝EF，BD＝EF，

∴AC＝BD．

（3）如圖2中，

∵直線y＝x+3與坐標軸交于C，D，

∴C（0，3），D（3，0），

∴OC＝OD＝3，CD＝3，

∵CD+BD≤5，

∴BD≤2，

當BD＝2時，∵∠CDO＝45°，

∴B（1，2），此時k＝2，

觀察圖象可知，當k≤2時，CD+BD≤5