Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=﹣x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點．動點P從點A出發，在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O停止運動，點A關于點P的對稱點為點Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設運動時間為t秒．

（1）當t=秒時，點Q的坐標是　 　；

（2）在運動過程中，設正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數表達式；

（3）若正方形PQMN對角線的交點為T，請直接寫出在運動過程中OT+PT的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）①當0＜t≤1時，S =t2；②當1＜t≤時，S =﹣t2+18t；③當＜t≤2時， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值為．

【解析】（1）先確定出點A的坐標，進而求出AP，利用對稱性即可得出結論；

（2）分三種情況，①利用正方形的面積減去三角形的面積，②利用矩形的面積減去三角形的面積，③利用梯形的面積，即可得出結論；

（3）先確定出點T的運動軌跡，進而找出OT+PT最小時的點T的位置，即可得出結論．

（1）令y=0，

∴﹣x+4=0，

∴x=6，

∴A（6，0），

當t=秒時，AP=3×=1，

∴OP=OA﹣AP=5，

∴P（5，0），

由對稱性得，Q（4，0）；

（2）當點Q在原點O時，OQ=6，

∴AP=OQ=3，

∴t=3÷3=1，

①當0＜t≤1時，如圖1，令x=0，

∴y=4，

∴B（0，4），

∴OB=4，

∵A（6，0），

∴OA=6，

在Rt△AOB中，tan∠OAB=，

由運動知，AP=3t，

∴P（6﹣3t，0），

∴Q（6﹣6t，0），

∴PQ=AP=3t，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥OA，PN=PQ=3t，

在Rt△APD中，tan∠OAB=，

∴PD=2t，

∴DN=t，

∵MN∥OA

∴∠DCN=∠OAB，

∴tan∠DCN=，

∴CN=t，

∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；

②當1＜t≤時，如圖2，同①的方法得，DN=t，CN=t，

∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；

③當＜t≤2時，如圖3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；

（3）如圖4，由運動知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），

∴M（6﹣6t，3t），

∵T是正方形PQMN的對角線交點，

∴T（6﹣t，t）

∴點T是直線y=﹣x+2上的一段線段，（﹣3≤x＜6），

作出點O關于直線y=﹣x+2的對稱點O'交此直線于G，過點O'作O'F⊥x軸，則O'F就是OT+PT的最小值，

由對稱知，OO'=2OG，

易知，OH=2，

∵OA=6，AH=，

∴S△AOH=OH×OA=AH×OG，

∴OG=，

∴OO'=

在Rt△AOH中，sin∠OHA=，

∵∠HOG+∠AOG=90°，∠HOG+∠OHA=90°，

∴∠AOG=∠OHA，

在Rt△OFO'中，O'F=OO'sin∠O'OF=×=，

即：OT+PT的最小值為．