Question

【題目】如圖（1），在中，，，點分別是的中點，過點作直線的垂線段垂足為．點是直線上一動點，作使，連接．

（1）觀察猜想：如圖（2），當點與點重合時，則的值為 ．

（2）問題探究：如圖（1），當點與點不重合時，請求出的值及兩直線夾角銳角的度數，并說明理由

（3）問題解決：如圖（3），當點在同一直線上時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）60°，見解析；（3）4+或4－

【解析】

（1）由題意可知結論為當點F與點D重合時，則的值為2，并根據題意設BM=a，求出DM，GD即可解決問題；

（2）由題意可知結論為的值為2，兩直線GD、ED夾角銳角的度數為60°，并利用全等三角形的判定定理證明△BGD∽△BFM，可得結論；

（3）根據題意分兩種情形：當點G在線段AF上時以及當點G在線段AF的延長線上時，分別進行求解即可．

解：（1） 設BM=a．

∵AE=EC，AD=DB，

∴DE∥BC，

∴∠BDM=∠ABC=30°，

∵BM⊥EM，

∴∠BMD=90°，

∴，

在Rt△GDB中，∵∠GDB=90°，∠G=30°，

∴，

∴．

故答案為：2.

（2）在Rt△BDM中，設BM=a，則BD=2a，DM=a

在Rt△BGF中，設BF=b，則BG=2b，FG=

在△BGD與△BFM中，

∵BG：BF=2b：b=2a：a=BF：BM，∠DBG=60°－∠FBD=∠FBM

∴△BGD∽△BFM

則DG：FM=BD：BM=2a：a=2：1

即的值為2.

如圖，延長GD、BF交于點P，

∵△BGD∽△BFM

∴∠PFD=∠MFB=∠BGD

則在△PDF與△PBG中，∠PDF=∠PBG=60°.

故的值為2，兩直線GD、ED夾角銳角的度數為60°.

（3）如圖，有以下兩種如圖3①，圖3②

如圖3③，ED是△ABC的中垂線；

∵在Rt△AF1B和Rt△AF2B中，DA=DF1=DF2=DB

∴四邊形AF2BF1是矩形

當點G在線段AF上時，在Rt△BF1G1中，

設BF1=x，則BG1=2x=AG1，F1G1=

∴BG1：AF1=：=4－

當點G在線段AF的延長線上時，在矩形AF2BF1中，

設AF2=BF1=x， F2B=AF1=

∴BG2=2

則BG2：AF2=2：x=4+.

∴的值為4+或4－.