Question

【題目】數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上，小明將等腰△ABC的底邊BC與直線1重合，問：

（1）已知AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，點(diǎn)P在BC邊所在的直線l上移動(dòng)，根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”，小明發(fā)現(xiàn)AP的最小值是　 　；

（2）為進(jìn)一步運(yùn)用該結(jié)論，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP最短時(shí)，在Rt△ABP中，∠P＝90°，作了AD平分∠BAP，交BP于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是AD、AP邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE、EF，小明嘗試探索PE+EF的最小值，為轉(zhuǎn)化EF，小明在AB上截取AN，使得AN＝AF，連接NE，易證△AEF≌△AEN，從而將PE+EF轉(zhuǎn)化為PE+EN，轉(zhuǎn)化到（1）的情況，若BP＝3，AB＝6，AP＝3，則PE+EF的最小值為　 　；

（3）請(qǐng)應(yīng)用以上轉(zhuǎn)化思想解決問題（3），在直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝10，點(diǎn)D是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AP，連接CP，求線段CP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）PC的最小值為5．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．根據(jù)垂線段最短，求出AH即可解決問題．

（2）如圖2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，連接NE．作PH⊥AB于H．由△EAN≌△EAF（SAS），推出EN＝EF，推出PE+EF＝PE+NE，推出當(dāng)P，E，N共線且與PH重合時(shí)，PE+PF的值最小，最小值為線段PH的長．

（3）如圖3中，在AB上取一點(diǎn)K，使得AK＝AC，連接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC時(shí)，KD的值最小，求出KD的最小值即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC＝6，AH⊥BC，

∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝60°，

∴AH＝ABcos60°＝3，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AP與AH重合時(shí)，PA的值最小，最小值為3．

故答案為3．

（2）如圖2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，連接NE．作PH⊥AB于H．

∵∠EAN＝∠EAF，AN＝AF，AE＝AE，

∴△EAN≌△EAF（SAS），

∴EN＝EF，

∴PE+EF＝PE+NE，

∴當(dāng)P，E，N共線且與PH重合時(shí)，PE+PF的值最小，最小值為線段PH的長，

∵ABPH＝PAPB，

∴PH＝＝，

∴PE+EF的最小值為．

故答案為．

（3）如圖3中，在AB上取一點(diǎn)K，使得AK＝AC，連接CK，DK．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAK＝60°，

∴∠PAD＝∠CAK，

∴∠PAC＝∠DAK，

∵PA＝DA，CA＝KA，

∴△PAC≌△DAK（SAS），

∴PC＝DK，

∵KD⊥BC時(shí)，KD的值最小，最小值為5，

∴PC的最小值為5．