Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點C（﹣3，0），點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，且滿足 +|OA﹣1|=0

（1）求點A，點B的坐標．
（2）若點P從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連結AP．設△ABP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +|OA﹣1|=0

∴OA﹣1=0、OB2﹣3=0，

∴OA=1、OB= ，

∴點A的坐標為（1，0）、B的坐標（0， ）

（2）解：∵C（﹣3，0），B（0， ）；

∴OC=3，OB=

在RT△BOC中，BC= =2 ，

設點A到直線CB的距離為y，則

×2 y= ×（3+1）× ，

解得y=2．

則S= ×|2 ﹣t|×2=|2 ﹣t|．

故S與t的函數關系式為：S=﹣t+2 （0≤t≤2 ）或S=t﹣2 （t＞2 ）

（3）解：存在，

理由：∵tan∠OBC= = = ，

∴∠OBC=60°，

∴∠BCO=30°，

∴BC=2OB=2 ，

∵tan∠OBA= = = ，

∴∠OBA=30°，

∴∠ABC=90°，AB=2OA=2，

①當0≤t≤2 時，若△PBA∽△AOB時，則 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（﹣1， ）；

若△ABP∽△AOB時，則 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（﹣3，0），

②當t＞2 時，若△PBA∽△AOB時，則 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（1， ）；

若△ABP∽△AOB時，則 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（3，2 ），

所以，存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似，P點的坐標為（﹣1， ）或（﹣3，0）或（1， ）或（3，2 ）．

【解析】（1）根據非負數的性質得到OA、OB的長，即可得到點A、B的坐標；
（2）根據勾股定理得到CB的長度，再根據三角形面積公式即可得到點A到直線CB的距離；再根據的面積公式，即可求出S與t的函數關系式．
（3）先求得∠ABC=90°，然后分兩種情況討論即可求得點P的坐標．