Question

【題目】如圖，PA與⊙O相切于點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點B．連接PB，AO，并延長AO交⊙O于點D，與PB的延長線交于點E．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若OC=6，AC=8，求sinE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進而可得∠PBO=∠PAO=90°，PB是⊙O的切線；

（2）要求sinE，首先應找出直角三角形，然后利用直角三角函數求解即可．而sinE既可放在中，也可放在中，所以利用相似三角形的性質求出EP或EO的長即可解決問題

（1）證明：如圖，連接OB，

∵PO⊥AB，

∴AC=BC，則PO是線段AB的垂直平分線，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切線，即PA⊥OA，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACO中，OC=6，AC=8，

∴AO=10，

如圖，連接BD，則∠ABD=90°，

∴BD∥PO，則BD=2OC=12，

在Rt△ACO與Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°，

∴△ACO△PAO，

∴，即

∴PO=，PA=，

∴PB=PA=，

∵BD∥PO，

∴△EPO∽△EBD，

∴，則，

∴，

解得：EB=，

∴PE=PB+EB=，

∴．