Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)按要求尺規作圖，保留作圖痕跡

①作∠ABC平分線交AC于F點，

②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓⊙M；

(2)在（1）所作圖形中，證明⊙M與邊AC相切；

(3)在（1）所作圖形中，若∠CFB＝∠CBA，BC＝3，求⊙M的半徑．

Answer 1

【答案】(1)①作圖見解析；②作圖見解析；(2)證明見解析；(3)

【解析】

（1）①根據尺規作圖過程作∠ABC平分線交AC于F點即可；②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑做⊙M即可；

②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓⊙M與邊AC相切；

（2）在（1）所作圖形中，根據切線的判定得出FM⊥AC，即可證明⊙M與邊AC相切；

（3）在（1）所作圖形中，根據∠CFB＝∠CBA，BC＝3，角平分線的性質，求出∠A的度數，即可求⊙M的半徑．

解：（1）如圖所示①BF即為所求；

②如圖所示⊙M為所求；

（2）證明：∵M在BF的垂直平分線上，

∴MF＝MB，

∴∠MBF＝∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF＝∠CBF，

∴∠CBF＝∠MFB，

∴MF∥BC，

∵∠C＝90°，

∴FM⊥AC，

∴⊙M與邊AC相切；

（3）∵∠CFB＝∠CBA，

∴∠A＝∠CBF，

∴∠A＝∠CBF＝∠ABF，

∴∠A＝30°，

∵BC＝3，

∴AB＝6，

設⊙M的半徑為x，

∴MF＝MB＝x，則AM＝2x，

∵MB+AM＝AB，

∴3x＝6，

∴x＝2，

∴⊙M的半徑為2．