Question

【題目】已知拋物線l1與l2形狀相同，開口方向不同，其中拋物線l1：y=ax2﹣8ax﹣交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），且AB=6；拋物線l2與l1交于點A和點C（5，n）．

（1）求拋物線l1，l2的表達式；

（2）當x的取值范圍是　 　時，拋物線l1與l2上的點的縱坐標同時隨橫坐標的增大而增大；

（3）直線MN∥y軸，交x軸，l1，l2分別相交于點P（m，0），M，N，當1≤m≤7時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x+（2）2≤x≤4（3）12

【解析】

（1）首先確定A、B兩點坐標，求出拋物線l1的解析式，再求出點C坐標，利用待定系數法求出拋物線l2的解析式即可；

（2）觀察圖象可知，中兩個拋物線的頂點之間時，拋物線l1與l2上的點的縱坐標同時隨橫坐標的增大而增大，求出兩個拋物線的頂點坐標即可解決問題；

（3）分兩種情形分別求解：①如圖1中，當1≤m≤5時，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如圖2中，當5＜m≤7時，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函數的性質即可解決問題；

（1）由題意拋物線l1的對稱軸x=﹣=4，

∵拋物線l1交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），且AB=6，

∴A（1，0），B（7，0），

把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+4x﹣，

把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，

∴C（5，4），

∵拋物線l1與l2形狀相同，開口方向不同，

∴可以假設拋物線l2的解析式為y=x2+bx+c，

把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，

得到，解得，

∴拋物線l2的解析式為y=x2﹣2x+．

（2）觀察圖象可知，中兩個拋物線的頂點之間時，拋物線l1與l2上的點的縱坐標同時隨橫坐標的增大而增大，

頂點E（2，﹣），頂點F（4，）

所以2≤x≤4時，拋物線l1與l2上的點的縱坐標同時隨橫坐標的增大而增大，

故答案為2≤x≤4．

（3）∵直線MN∥y軸，交x軸，l1，l2分別相交于點P（m，0），M，N，

∴M（m，﹣m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+），

①如圖1中，當1≤m≤5時，

MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，

∴m=3時，MN的最大值為4．

②如圖2中，當5＜m≤7時，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，

5＜m≤7時，在對稱軸右側，MN隨m的增大而增大，

∴m=7時，MN的值最大，最大值是12，

綜上所述，MN的最大值為12．