Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2的圖象與一次函數y=x+b的圖象相交于A（﹣2，2）、B兩點，從點A和點B分別引平行于y軸的直線與x軸分別交于C，D兩點，點P（t，0），為線段CD上的動點，過點P且平行于y軸的直線與拋物線和直線分別交于R，S．

（1）求一次函數和二次函數的解析式，并求出點B的坐標；
（2）當SR=2RP時，計算線段SR的長；
（3）若線段BD上有一動點Q且其縱坐標為t+3，問是否存在t的值，使S△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知點A（﹣2，2）在y=ax2的圖象上，又在y=x+b的圖象上

所以得2=a（﹣2）2和2=﹣2+b，

∴ ，b=4．

∴一次函數的解析式為y=x+4．

二次函數的解析式為y= x2．

由 ，

解得 或 ，

所以B點的坐標為（4，8）

（2）

解：因過點P（t，0）且平行于y軸的直線為x=t，

得 ，

所以點S的坐標（t，t+4）．

由 得 ，

所以點R的坐標（t， t2）．

所以SR=t+4﹣ t2，RP= t2．

由SR=2RP得t+4﹣ t2=2× t2，

解得 或t=2．

因點P（t，0）為線段CD上的動點，

所以﹣2≤t≤4，

所以 或t=2

當t=2時，SR=2+4﹣ ×22=4

所以線段SR的長為 或4

（3）

解：存在符合題意的t．

因BQ=8﹣（t+3）=5﹣t，點R到直線BD的距離為4﹣t，

所以S△BRQ= （5﹣t）（4﹣t）=15．

解得t=﹣1或t=10．

因為﹣2≤t≤4，

所以t=﹣1．

【解析】（1）將A點坐標分別代入拋物線和直線的解析式中即可求出兩函數的解析式．然后聯立兩函數的函數式即可求出B點的坐標．（2）線段SR實際是直線AB的函數值和拋物線函數值的差．而RP的長實際是R點的縱坐標，根據SR=2RP可得出一個關于P點橫坐標t的方程，據此可求出P點的橫坐標t．然后代入SR的表達式即可求出SR的長．（3）可用t表示出BQ的長，再根據D，P的坐標用t表示出R到BD的距離，然后根據三角形的面積公式即可得出△BRQ的面積表達式，根據其面積為15可求出t的值．