Question

【題目】一副三角板的三個內角分別是90,45,45和90,60,30,按如圖所示疊放在一起,若固定三角形AOB,改變三角形ACD的位置(其中點A位置始終不變),可以擺成不同的位置,使兩塊三角板至少有一組邊平行。設∠BAD=α(0<α<180)

(1)如圖1中,請你探索當α為多少時,CD∥OB，并說明理由；

(2)如圖2中,當α=___時,AD∥OB；

(3)在點A位置始終不變的情況下，你還能擺成幾種不同的位置，使兩塊三角板中至少有一組邊平行，請直接寫出符合要求的α的度數。（寫出三個即可）

Answer 1

【答案】（1）15°（2）45°（3）105°或135°或150°或165°或135°或75°或45°或30°

【解析】

（1）由平行內錯角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得α=15°；
（2）圖3中，直接由平行內錯角得出α=∠B=45°；
（3）分別畫出圖形，根據各圖形求出α的值．

（1）如圖1,當∠α=15°,CD∥OB，

∵∠D=30°,∠α=15°，

∴∠1=45°，

∵∠B=45°，

∴∠1=∠B，

∴CD∥OB。

（2）當α=45°時，AD∥OB，

∵∠B=45°，

∴∠α=∠B，

∴AD∥OB；

故答案為：45°.

（3）①如圖3，AO∥CD

∴∠D+∠DAO=180°，

∴∠BAD=180°45°30°=105°，

∴當α=105°時,CD∥OA；

②如圖4，AC∥OB

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=45°+90°=135°，

∴當α=135°時,AC∥OB；

③如圖5，DC∥AB

∴∠C=∠BAC=60°，

∴∠BAD=90°+60°=150°，

∴當α=150°時,DC∥AB；

④如圖6，DC∥OB

連接BC，

∵DC∥OB，

∴∠DCB+∠OBC=180°，

∵∠ACD=60°,∠OBA=45°，

∴∠ACB+∠ABC=180°60°45°=75°,

∴∠CAB=105°，

∴∠BAD=360°90°105°=165°，

∴當α=165°時,CD∥OB；

⑤如圖7,AD∥OB，

∴∠DAO=∠O=90°，

∴∠BAD=90°+45°=135°，

∴當α=135°時,AD∥OB；

⑥如圖8,CD∥OA，

∴∠D=∠DAO=30°，

∴∠BAD=30°+45°=75°，

∴當α=75°時,CD∥OA；

⑦如圖9，AC∥OB

∴AO與AD重合，

∴∠BAD=45°，

∴當α=45°時,AC∥OB；

⑧如圖10，OC∥AB

∴∠BAD=∠D=30°，

∴當α=30°時,OC∥AB.