Question

【題目】如圖，在中，，，點是邊上（不與，重合）一動點，，交于點．

（1）求證：；

（2）若為直角三角形，求．

（3）若以為直徑的圓與邊相切，求．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）證明∠ADB=∠DEC，即可得出結論；
（2）過點A作AG⊥BC于G，分兩種情況討論，當∠AED=90°時，當∠CDE=90°時通過三角形相似即可求得；
（3）取AE的中點O，過O作OF⊥BC于F，設BD=，AE=，可分別表示OA和OC，由OF∥AG，得出，得出關于的方程，解出即可求出DG長，則AD長可求出．

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE，∠DEC=180°-∠C-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如圖1，過點A作AG⊥BC于G，

∴CG=BC=8，
∴，
設∠ADE=∠B=∠C=α
∴cosα=，
當∠AED=90°時，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8；
當∠CDE=90°時，由（1）知△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵cosα=，AB=10，
∴cosB=，
∴BD=；
即：BD=8或．
（3）如圖2，取AE的中點O，過O作OF⊥BC于F，

設BD=，AE=，
∴，，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以AE為直徑的圓與邊BC相切，
∴，

∵AG⊥BC，OF⊥BC，
∴OF∥AG，
∴，
∴，
∴6[]=10[]，
∴或，
∴，
在Rt△AGD中，根據勾股定理得，

．