Question

【題目】如圖，在正方形中，、分別為邊、的中點，連接、交于點．

（1）求證：；

（2）如圖，連接，，交于點．

①求證：；

②若，求三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②

【解析】

（1）由正方形的性質可得AD=BC=DC=AB，AE=BE=AB，BF=CF=BC，由SAS可證△ADE≌△BAF，可得∠BAF=∠ADE，由余角的性質可得結論；
（2）①過點B作BN⊥AF于N，由AAS可證△ABN≌△ADG，可得AG=BN，DG=GN，由平行線分線段成比例可得AG=GN，由勾股定理可得結論；
②由勾股定理可求DE的長，由面積法可求AG的長，由相似三角形的性質可求GH的長，由三角形的面積可求解．

解：（1）證明：∵正方形，、分別為邊、的中點，

∴，，，

∴，

∵在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE和△BAF（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）證明：①如圖，過點作于，

∵，，，

在△ABN和△ADG中，

，

∴△ABN和△ADG（AAS），

∴，，

∵，

∴，

∴，且，

∴，

∴，

∵，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

且，

∴，

∴．