Question

【題目】如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2=90°．求證：

（1）AB∥CD；

（2）∠2+∠3=90°．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

試題分析:（1）首先根據角平分線的定義可得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，根據等量代換可得∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2），進而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根據同旁內角互補兩直線平行可得答案；

（2）先根據三角形內角和定理得出∠BED=90°，再根據三角形外角的性質得出∠EDF+∠3=90°，由角平分線的定義可知∠2=∠EDF，代入得到∠2+∠3=90°．

證明：（1）∵DE平分∠BDC（已知），

∴∠ABD=2∠1（ 角平分線的性質）．

∵BE平分∠ABD（已知），

∴∠BDC=2∠2（角的平分線的定義）．

∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代換）．

∵∠1+∠2=90°（已知），

∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性質）．

∴AB∥CD（ 同旁內角互補兩直線平行）．

（2）∵∠1+∠2=90°，

∴∠BED=180°﹣（∠1+∠2）=90°，

∴∠BED=∠EDF+∠3=90°，

∵∠2=∠EDF，

∴∠2+∠3=90°．