Question

【題目】(1)某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖1，在中，點在線段上，，，，，求的長．

經過社團成員討論發現，過點作，交的延長線于點，通過構造就可以解決問題(如圖．

請回答：　　，　　．

(2)請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3，在四邊形中，對角線與相交于點，，，，，求的長．

Answer 1

【答案】(1) 75°;4（2）

【解析】

（1）根據平行線的性質可得出∠ADB=∠OAC=75°，結合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB=AD=4，此題得解；

（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解．

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO=3，

∴OD=AO=，

∴AD=AO+OD=4．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=4

故答案為：75；4．

（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴

∵AO=3,

∴EO=，

∴AE=4

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，

解得：BE=4，

∴AB=AC=8，AD=12．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，

解得：CD=4.