Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動點M從點D出發，按折線DCBAD方向以3cm/s的速度運動，動點N從點D出發，按折線DABCD方向以2cm/s的速度運動．點E在線段BC上，且BE=1cm，若M、N兩點同時從點D出發，到第一次相遇時停止運動．

（1）求經過幾秒鐘M、N兩點停止運動？

（2）求點A、E、M、N構成平行四邊形時，M、N兩點運動的時間；

（3）設運動時間為t（s），用含字母t的代數式表示△EMN的面積S（cm2）．

Answer 1

【答案】（1）經過6 s兩點相遇．（2）當點A、E、M、N構成平行四邊形時，M、N兩點運動的時間為4或4.8s．（3）當0＜t＜時，S =-3t2+t；當≤t＜時，S=S△EMN=EMCD=×（3t-5-1）×5=35-t；當＜t≤5時，S= t-35；當5＜t＜6時，S =15-t．

【解析】

（1）由題意可得：M、N兩點同時從點D出發，到第一次相遇時共運動了：2（5+10）=30（cm），則可得t=30÷（2+3）=6；
（2）由題意知，當點N在AD邊上運動，點M在BC邊上運動時，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，然后設經過t秒，四點可組成平行四邊形，①當構成AEMN時，10-2t=14-3t，②當構成AMEN時，10-2t=3t-14，繼而求得答案；

（3）分別從當 0＜t＜時，當＜時，當t＜5時，當5＜t＜6時，去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，

∴M、N兩點同時從點D出發，到第一次相遇時共運動了：2（5+10）=30（cm），

∴t=30÷（2+3）=6 （s）

答：經過6 s兩點相遇．

故答案為：6s.

（2）由題意知，當點N在AD邊上運動，點M在BC邊上運動時，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，

設經過t秒，四點可組成平行四邊形，

①當構成AEMN時，10-2t=14-3t，

解得t =4；

②當構成AMEN時，10-2t=3t-14，

解得t=4.8；

答：當點A、E、M、N構成平行四邊形時，M、N兩點運動的時間為4s或4.8s．

故答案為：4s或4.8s．

（3）如圖（1），當0＜t＜時，點M在線段CD上，

S＝S△EMN =S梯形CDNE-S△DMN-S△CEM=×（2t+9）×5 - ×2t×3t - ×9×（5-3t）=-3t2+t；

如圖（2），當≤t＜時，點M在線段CE上，

S＝S△EMN=EMCD=×（3t-5-1）×5=35-t；

如圖（3），當＜t＜5時，點M在線段BE上，

S＝S△EMN=MECD =×（3t-14）×5=t-35；

如圖（4），當5＜t＜6時，點M、N都在線段AB上，

S=S△EMN=MNBE=×（30-2t-3t）×1=15-t．

故答案為：當0＜t＜時，S =-3t2+t；當≤t＜時，S= 35-t；當＜t＜5時，S= t-35；當5＜t＜6時，S =15-t．