Question

【題目】在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過點A作AD⊥BP于點D，交直線BC于點Q．

（1）如圖1，當P在線段AC上時，求證：BP=AQ；

（2）如圖2，當P在線段CA的延長線上時，（1）中的結論是否成立？　 　（填“成立”或“不成立”）

（3）在（2）的條件下，當∠DBA=　 　度時，存在AQ=2BD，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（2）成立，理由見解析；（3）當∠DBA=22.5°時，存在AQ=2BD，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）首先根據內角和定理得出∠DAP=∠CBP，進而得出

△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延長BA交PQ于H，由于 得到 推出△AQC≌△BPC(ASA)，即可得出結論；
（3）當時，存在根據等腰三角形的性質得到BP=2BD，通過△PBC≌△ACQ，根據全等三角形的性質即可得到結論．

試題解析：

（1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，

∴∠DAP=∠CBP，

在△ACQ和△BCP中

∴△ACQ≌△BCP（ASA），

∴BP=AQ

(2)成立，

理由：延長BA交PQ于H，

∠AQC=∠BQD,

∴∠CAQ=∠DBQ，

在△AQC和△BPC中,

∴△AQC≌△BPC(ASA)，

∴AQ=BP，

故答案為：成立；

（3）22.5°，

當∠DBA=22.5°時，存在AQ=2BD，

理由：∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，

∴∠PBA=∠APB=22.5°，

∴AP=AB，

∵AD⊥BP，

∴BP=2BD，

在△PBC與△QAC中，

∴△PBC≌△ACQ，

∴AQ=PB，

∴AQ=2BD．

故答案為：22.5°.