Question

如圖，在△ABC中，AD為角平分線，CE⊥AD，F為BC中點．
求證：EF=（AB-AC）．

 

 

Answer 1

證明：如圖，延長CE交AB于G，
∵AD為角平分線，
∴∠EAG=∠EAC，
∵CE⊥AD，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AGE和△ACE中，

∠EAG＝∠EAC, AE＝AE, ∠AEG＝∠AEC＝90°，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴AG=AC，CE=GE，
又∵F為BC中點，
∴EF是△BCG的中位線，
∴EF=BG=（AB-AG）=（AB-AC），
即EF=（AB-AC）．

 

【解析】

延長CE交AB于G，利用“角邊角”證明△AGE和△ACE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=AC，CE=GE，然后求出EF是△BCG的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．