Question

【題目】如圖，在△ABC中∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm，動點P以3cm/s的速度由A沿射線AC方向運動，動點Q同時以1cm/s的速度由B向CB的延長線方向運動，連PQ交直線AB于D，則當運動時間為s時，△ADP是等腰三角形．

Answer 1

【答案】 或3或
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm， ∴AC=2BC=4cm，AB=ACcosA=4× =2 cm，
設運動時間為t，則AP=3t，BQ=t，
①當PA=PD時，如圖1，

則∠BDQ=∠PDA=∠A=30°，
∴∠C=∠CPQ=60°，DQ=2BQ=2t，
∴PQ=PC=AC﹣AP=4﹣3t，
∴PD=PQ﹣DQ=4﹣3t﹣2t=4﹣5t，
則4﹣5t=3t，
解得：t= ；
②當AP=AD時，如圖2，

則∠ADP=∠BDQ= =75°，
∴∠DQB=15°，
以DQ為邊在∠BDQ內部作∠EDQ=∠DQB=15°，
∴設DE=QE=x，∠DEB=30°，
∴BE=BQ﹣EQ=t﹣x，
由cos∠DEB= 得 ，
解得：x=2（2﹣ ）t，即DE=2（2﹣ ）t，
∴BD=DEsin∠DEB=（2﹣ ）t，
∴AD=AB﹣BD=2 ﹣（2﹣ ）t，
由AP=AD得3t=2 ﹣（2﹣ ）t，
解得：t= ；
③當DA=DP時，如圖3，

則∠A=∠APD=30°，
∴∠CQP=∠ACB﹣∠APD=30°，
∴∠CQP=∠APD=30°，
∴CP=CQ，則3t﹣4=2+t，
解得：t=3，
綜上，當運動時間為 或3或 s時，△ADP是等腰三角形．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的判定的相關知識點，需要掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等才能正確解答此題．