Question

【題目】定義：點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離．例如，如圖1，正方形滿足，，，，那么點到正方形的距離為．

（1）如果點到拋物線的距離為，請直接寫出的值________．

（2）求點到直線的距離．

（3）如果點在直線上運動，并且到直線的距離為，求的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=-3；（2）到直線的距離為；（3）(2, 6-)或

(2, 6+)

【解析】

（1）作草圖可知，當G在原點下方時，b=-3；

（2）過點M作直線y=x+3的垂線，與直線y=x+3相交于點H，則線段MH的長即為點M到直線y=x+3的距離.由等腰直角三角形MH=ME求解即可；

（3）分N 在直線y=x+4的上方和下方求解即可.

解：（1）由圖可知線段GO長即為點G到拋物線的距離，故GO=3，所以b=-3

（2）如圖，直線y=x+3與x，y軸分別交于點E(-3，0)，F(0，3)，直線y=x+3與x軸所成的角為45°，過點M作MH⊥EF，交EF與H，線段MH的長度即為點M到直線y=x+3的距離，且易知H點與F點重合.

∵為等腰直角三角形，

∴EM=FM ，

又∵EF=3-(-3)=6，

∴MF=EM=×6=3

∴MH=3

即點到直線的距離為；

（3）如圖

K為直線x=2與x軸的交點，故K(2,0),F為直線x=2和直線y=x+4的交點，故F(2,6)

①當點N在直線y=x+4的下方N1處時，過點N1作N1S垂直直線y=x+4，

∵點到直線的距離為，

∴SN1=4,

點E是直線y=x+4與x軸的交點，

∴E(-4,0),且∠FEK=45°,

∴為等腰直角三角形

∴EK=FK=2-(-4)=6,

F N1=N1S=,

∴KN1=FK- F N1=6-,

∴N1(2, 6-)

②當點N在直線y=x+4的上方N2處時，過點N2作N2T垂直直線y=x+4，

同理可得：N2T=4，N2F= N2T=,

∴N2K=KF+FN2=6+,

∴N2(2, 6+)

故點在直線上運動，并且到直線的距離為，的坐標為(2, 6-)或

(2, 6+).